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Eine Zahlendarstellung auf der Basis von Primzahlen


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Bei der Diskussion um verschiedene Möglichkeiten, Zahlen darzustellen, betrachtet man heutzutage meist Stellensysteme: Dabei ist eine bestimmte Zahl von Ziffern (mindestens zwei) vorgegeben, deren Werte den ganzen Zahlen von Null bis zur Anzahl der Ziffern minus Eins entsprechen.

Durch Positionierung der Ziffern in einem Schema, das mit Hilfe eines Kommas verankert wird, lassen sich beliebig große und beliebig kleine positive rationale Zahlen darstellen. Heiße die Anzahl der Ziffern eines Stellensystems n, so haben die Ziffern vor dem Komma die Wertigkeit 1, n, n², n³ usw., die Ziffern nach dem Komma die Wertigkeit 1/n, 1/n² usw. Durch Multiplikation der Werte der einzelnen Ziffern mit der Wertigkeit der jeweiligen Stelle und Addition der so gewonnenen Resultate ergibt sich der Wert der dargestellten Zahl.

Zur Vereinfachung der Darstellung ist außerdem üblich, führende Ziffern mit Wert Null wegzulassen sowie nach dem Komma wiederkehrende Ziffernfolgen durch einen waagerechten Strich als Periode zu kennzeichnen. Außerdem wird bei ganzen Zahlen das Komma nicht explizit hingeschrieben. Das Komma sitzt dann unsichtbar am Ende der Zahlendarstellung. Um eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung (bijektive Abbildung) zwischen den rationalen Zahlen und ihrer Darstellung in einem Stellensystem zu erreichen, wird außerdem vereinbart, daß die Periode der höchsten Ziffer des jeweiligen Systems nicht vorkommen soll. Zur Ergänzung sei noch gesagt, daß auch irrationale Zahlen eine Darstellung in jedem Stellensystem haben, diese sich jedoch nicht als Ziffernfolge hinschreiben läßt, da sie im Gegensatz zu der Darstellung rationaler Zahlen weder abbricht noch in eine Periode mündet.

Bekanntestes Beispiel für ein Stellensystem ist sicherlich das Dezimalsystem mit den zehn Ziffern 0 bis 9. Mit dieser Art der Zahlendarstellung arbeiten wir tagtäglich. Sehr bekannt ist auch das Binärsystem, das mit Verwendung von nur zwei Ziffern das minimal mögliche Stellensystem ist, also quasi eine Art natürliche Wurzel der Stellensysteme. Aufgrund seiner extremen Einfachheit ist es ideal für die Verwendung in elektronischen Rechen- und Kommunikationsmaschinen (Komputern) geeignet.

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem als identisch mit der Zahl aufgefaßt. Wir sagen also z.B. nicht "Die Zahl, deren Dezimaldarstellung 13 lautet", sondern "Die Zahl 13". Dabei sollte aber nicht vergessen werden, daß Zahlen in Wirklichkeit keine Ziffernfolgen sind, sondern abstrakte Elemente von Mengen, die über eine Sammlung mathematischer Axiome definiert werden. Konkret benannt sind darin nur die Zahlen Null und Eins, nämlich die Null als neutrales Element der Addition und die Eins als neutrales Element der Multiplikation. Dies bedeutet: Ziffernfolgen sind nicht die Zahlen selbst, sondern lediglich eine Darstellung von Zahlen, die man vereinbart, weil man sonst keine praktikable Möglichkeit hat, Zahlen explizit zu benennen.

Die Darstellung rationaler Zahlen durch das Dezimalsystem hat sich zwar über Jahrhunderte eingebürgert, ist aber aus der mathematischen Natur der Zahlen durch nichts zu begründen. Es ist auch nicht etwa das praktikabelste System. So wäre es bei vielen Angelegenheiten sicherlich praktischer, wenn wir Zahlen in einem System mit zwölf Ziffern darstellen würden. So wären z.B. elementare Teilbarkeitsregeln (Regeln, anhand derer man alleine aufgrund der Zifferndarstellung einer Zahl schnell ermitteln kann, ob diese durch bestimmte, typischerweise kleine, Zahlen teilbar ist) im Zwölfersystem einfacher als im Dezimalsystem.

Umrechnungen zwischen Zahlendarstellungen in verschiedenen Stellensystemen sind auf der Internetseite http://zahlen.hoerde.net verfügbar.

Doch solche Stellensysteme sind nicht die einzige Möglichkeit, Zahlen darzustellen. Die Römer benutzten zur Darstellung von Zahlen (beschränkt auf ganze und positive Zahlen) ein Additionssystem, bei dem die Ziffern unabhängig von ihrer Position einen festen Wert haben, der zueinander addiert wird.

Dazu definierten Sie folgende Ziffern:
I = Eins
X = Zehn
C = Hundert
M = Tausend

Zur Vereinfachung wurden noch die folgenden Zwischenstufen eingeführt:
V = IIIII (Fünf)
L = XXXXX (Fünfzig)
D = CCCCC (Fünfhundert)

So stellt also z.B. VII die Zahl Sieben dar. Eine Darstellung für die Null ist in den römischen Ziffern nicht enthalten. Sie decken also nur den positiven ganzzahligen Zahlenraum ohne die Null ab. Für besonders große Zahlen wird die römische Zahlendarstellung aufgrund fehlender Ziffern für große Werte unpraktisch.

Die römische Schreibweise war noch weit bis in das Mittelalter hinein gebräuchlich. Dabei bürgerte sich auch ein, die Darstellung dadurch zu vereinfachen, daß Ziffern nicht nur addiert, sondern auch voneinander subtrahiert werden können: Für die reine Addition der Ziffern werden diese in absteigendem Wert von links nach rechts geschrieben. Steht dagegen eine Ziffer von niedrigerem Wert links von einer Ziffer höheren Wertes, so wird sie subtrahiert. So kann also für die Zahl Neun statt VIIII auch IX und für die Zahl 45 statt XXXXV auch VL geschrieben werden. Für die Zahl 999 wird aus der langen Darstellung DCCCCLXXXXVIIII die Kurzform IM.

Um das Lesen der Zahlen nicht zu kompliziert werden zu lassen, darf von einer Ziffer stets nur eine andere Ziffer, nicht aber mehrere abgezogen werden. Die Darstellung IIL für 48 ist also nicht zulässig. Die Darstellung IXC wäre sogar mehrdeutig. Damit könnte gemeint sein, daß die Eins erst von der Zehn abgezogen wird und das Ergebnis (Neun) von der Hundert, also die Zahl 91 dargestellt ist. Es könnte aber damit auch gemeint sein, daß von der Hundert die Zehn abgezogen wird und davon die Eins, also die Zahl 89 dargestellt ist. Mit der Beschränkung der Subtraktion auf nur eine subtrahierte Ziffer pro addierter Ziffer sind solche Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen. Die Subtraktion jeweils einer Ziffer an verschiedenen Stellen der Zahl ist dagegen zulässig. So steht CMIX für die Zahl 909.

Anzumerken ist noch, daß es unüblich ist, die gleiche römische Ziffer in derselben Zahl mehrfach zur Subtraktion zu verwenden. So wäre z.B. IXIX eine zulässige Schreibweise für die Zahl 18, deren Verwendung aber nicht üblich ist. Außerdem hat sich die Konvention eingebürgert, daß Subtraktionen möglichst weit rechts in der Zahl erfolgen. Für die Zahl 19 schreibt mal also nicht IXX, sondern XIX.

Die Additionssystem der römischen Zahlen sind das einzige allgemein bekannte System zur Zahlendarstellung, das kein Stellensystem ist. Aber wenn man Zahlen mit Mitteln der Addition darstellen kann, warum soll man dann nicht auch Zahlen mit Mitteln der Multiplikation darstellen können?

Während bei den römischen Zahlen die Ziffern zueinander addiert werden, müsste man sie in einem Multiplikationssystem miteinander malnehmen. Als Ziffern für ein solches System eignen sich die Primzahlen, denn jede Zahl ab 2 hat eine eindeutige Primfaktorendarstellung. Man benötigt also Ziffern, die jeweils einer Primzahl entsprechen.

Nimmt man die Buchstaben des lateinischen Alphabeths als Ziffern, so hieße dies: Die Zahl 2 ist die erste Primzahl und wird durch die Ziffer a repräsentiert. Die Zahl 3 ist die zweite Primzahl wird wird durch die Ziffer b repräsentiert. Die Zahl 4 ist keine Primzahl, ist also keine eigene Ziffer, sondern wird multiplikativ als aa geschrieben. Die Zahl 5 ist wieder eine Primzahl und bekommt die Ziffer c. Die Zahl Sechs ist keine Primzahl, sondern schreibt sich ab (Multiplikation aus den Ziffern a und b).

Läßt man aus Gründen der Verwechselungsgefahr zwischen i und j den Buchstaben i aus dem Alphabeth weg, so hat man also mit den Buchstaben a bis z einen Ziffernvorrat für die ersten 25 Primzahlen, mit dem sich problemlos die Zahlen bis Hundert aufschreiben lassen. Lediglich die Zahlen Null und Eins haben keine Primfaktorendarstellung. Sie haben also eine Sonderrolle und können z.B. als 0 und 1 geschrieben werden.

Die folgende Tabelle zeigt die Zahlen von Null bis Hundert zum einen in verschiedenen Stellensystemen, nämlich in dem System aus den drei Ziffern 0,1,2, dem Dezimalsystem und dem Hexadezimalsystem, zum anderen im Additionssystem der römischen Zahlen und schließlich in dem von mir skizzierten Multiplikationssystem:


     Stellensysteme      Additionssystem    Multiplikationssystem
 ---------------------   ---------------   -----------------------
 (0,1,2) dezimal  hex.   römische Zahlen   Aufbau aus Primfaktoren


    0       0       0                        0
    1       1       1      I                 1
    2       2       2      II                a
   10       3       3      III               b
   11       4       4      IV                aa
   12       5       5      V                 c
   20       6       6      VI                ab
   21       7       7      VII               d
   22       8       8      VIII              aaa
  100       9       9      IX                bb
  101      10       A      X                 ac
  102      11       B      XI                e
  110      12       C      XII               aab
  111      13       D      XIII              f
  112      14       E      XIV               ad
  120      15       F      XV                bc
  121      16      10      XVI               aaaa
  122      17      11      XVII              g
  200      18      12      XVIII             abb
  201      19      13      XIX               h
  202      20      14      XX                aac
  210      21      15      XXI               bd
  211      22      16      XXII              ae
  212      23      17      XXIII             j
  220      24      18      XXIV              aaab
  221      25      19      XXV               cc
  222      26      1A      XXVI              af
 1000      27      1B      XXVII             bbb
 1001      28      1C      XXVIII            aad
 1002      29      1D      XXIX              k
 1010      30      1E      XXX               abc
 1011      31      1F      XXXI              l
 1012      32      20      XXXII             aaaaa
 1020      33      21      XXXIII            be
 1021      34      22      XXXIV             ag
 1022      35      23      XXXV              cd
 1100      36      24      XXXVI             aabb
 1101      37      25      XXXVII            m
 1102      38      26      XXXVIII           ah
 1110      39      27      XXXIX             bf
 1111      40      28      XL                aaac
 1112      41      29      XLI               n
 1120      42      2A      XLII              abd
 1121      43      2B      XLIII             o
 1122      44      2C      XLIV              aae
 1200      45      2D      VL                bbc
 1201      46      2E      VLI               aj
 1202      47      2F      VLII              p
 1210      48      30      VLIII             aaaab
 1211      49      31      IL                dd
 1212      50      32      L                 acc
 1220      51      33      LI                bg
 1221      52      34      LII               aaf
 1222      53      35      LIII              q
 2000      54      36      LIV               abbb
 2001      55      37      LV                ce
 2002      56      38      LVI               aaad
 2010      57      39      LVII              bh
 2011      58      3A      LVIII             ak
 2012      59      3B      LIX               r
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 2021      61      3D      LXI               s
 2022      62      3E      LXII              al
 2100      63      3F      LXIII             bbd
 2101      64      40      LXIV              aaaaaa
 2102      65      41      LXV               cf
 2110      66      42      LXVI              abe
 2111      67      43      LXVII             t
 2112      68      44      LXVIII            aag
 2120      69      45      LXIX              bj
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 2122      71      47      LXXI              u
 2200      72      48      LXXII             aaabb
 2201      73      49      LXXIII            v
 2202      74      4A      LXXIV             am
 2210      75      4B      LXXV              bcc
 2211      76      4C      LXXVI             aah
 2212      77      4D      LXXVII            de
 2220      78      4E      LXXVIII           abf
 2221      79      4F      LXXIX             w
 2222      80      50      LXXX              aaaac
10000      81      51      LXXXI             bbbb
10001      82      52      LXXXII            an
10002      83      53      LXXXIII           x
10010      84      54      LXXXIV            aabd
10011      85      55      LXXXV             cg
10012      86      56      LXXXVI            ao
10020      87      57      LXXXVII           bk
10021      88      58      LXXXVIII          aaae
10022      89      59      LXXXIX            y
10100      90      5A      XC                abbc
10101      91      5B      XCI               df
10102      92      5C      XCII              aaj
10110      93      5D      XCIII             bl
10111      94      5E      XCIV              ap
10112      95      5F      VC                ch
10120      96      60      VCI               aaaaab
10121      97      61      VCII              z
10122      98      62      VCIII             add
10200      99      63      IC                bbe
10201     100      64      C                 aacc

Nun sieht es so, als wäre nach den ersten hundert Zahlen das von mir entworfene Multiplikationssystem am Ende. Denn bereits die nächste Zahl ist wieder eine Primzahl und bräuchte also wieder eine neue Ziffer. Der Vorrat an verfügbaren Ziffern ist aber erschöpft. Daß das System aber noch genügend Möglichkeiten hat, um beliebig große Zahlen darzustellen, zeige ich auf der Folgeseite:



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