Eine Zahlendarstellung auf der Basis von Primzahlen

Bei der Diskussion um verschiedene Möglichkeiten, Zahlen darzustellen, betrachtet man heutzutage meist Stellensysteme: Dabei ist eine bestimmte Zahl von Ziffern (mindestens zwei) vorgegeben, deren Werte den ganzen Zahlen von Null bis zur Anzahl der Ziffern minus Eins entsprechen.

Durch Positionierung der Ziffern in einem Schema, das mit Hilfe eines Kommas verankert wird, lassen sich beliebig große und beliebig kleine positive rationale Zahlen darstellen. Heiße die Anzahl der Ziffern eines Stellensystems n, so haben die Ziffern vor dem Komma die Wertigkeit 1, n, n², n³ usw., die Ziffern nach dem Komma die Wertigkeit 1/n, 1/n² usw. Durch Multiplikation der Werte der einzelnen Ziffern mit der Wertigkeit der jeweiligen Stelle und Addition der so gewonnenen Resultate ergibt sich der Wert der dargestellten Zahl.

Zur Vereinfachung der Darstellung ist außerdem üblich, führende Ziffern mit Wert Null wegzulassen sowie nach dem Komma wiederkehrende Ziffernfolgen durch einen waagerechten Strich als Periode zu kennzeichnen. Außerdem wird bei ganzen Zahlen das Komma nicht explizit hingeschrieben. Das Komma sitzt dann unsichtbar am Ende der Zahlendarstellung. Um eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung (bijektive Abbildung) zwischen den rationalen Zahlen und ihrer Darstellung in einem Stellensystem zu erreichen, wird außerdem vereinbart, daß die Periode der höchsten Ziffer des jeweiligen Systems nicht vorkommen soll. Zur Ergänzung sei noch gesagt, daß auch irrationale Zahlen eine Darstellung in jedem Stellensystem haben, diese sich jedoch nicht als Ziffernfolge hinschreiben läßt, da sie im Gegensatz zu der Darstellung rationaler Zahlen weder abbricht noch in eine Periode mündet.

Bekanntestes Beispiel für ein Stellensystem ist sicherlich das Dezimalsystem mit den zehn Ziffern 0 bis 9. Mit dieser Art der Zahlendarstellung arbeiten wir tagtäglich. Sehr bekannt ist auch das Binärsystem, das mit Verwendung von nur zwei Ziffern das minimal mögliche Stellensystem ist, also quasi eine Art natürliche Wurzel der Stellensysteme. Aufgrund seiner extremen Einfachheit ist es ideal für die Verwendung in elektronischen Rechen- und Kommunikationsmaschinen (Komputern) geeignet.

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem als identisch mit der Zahl aufgefaßt. Wir sagen also z.B. nicht "Die Zahl, deren Dezimaldarstellung 13 lautet", sondern "Die Zahl 13". Dabei sollte aber nicht vergessen werden, daß Zahlen in Wirklichkeit keine Ziffernfolgen sind, sondern abstrakte Elemente von Mengen, die über eine Sammlung mathematischer Axiome definiert werden. Konkret benannt sind darin nur die Zahlen Null und Eins, nämlich die Null als neutrales Element der Addition und die Eins als neutrales Element der Multiplikation. Dies bedeutet: Ziffernfolgen sind nicht die Zahlen selbst, sondern lediglich eine Darstellung von Zahlen, die man vereinbart, weil man sonst keine praktikable Möglichkeit hat, Zahlen explizit zu benennen.

Die Darstellung rationaler Zahlen durch das Dezimalsystem hat sich zwar über Jahrhunderte eingebürgert, ist aber aus der mathematischen Natur der Zahlen durch nichts zu begründen. Es ist auch nicht etwa das praktikabelste System. So wäre es bei vielen Angelegenheiten sicherlich praktischer, wenn wir Zahlen in einem System mit zwölf Ziffern darstellen würden. So wären z.B. elementare Teilbarkeitsregeln (Regeln, anhand derer man alleine aufgrund der Zifferndarstellung einer Zahl schnell ermitteln kann, ob diese durch bestimmte, typischerweise kleine, Zahlen teilbar ist) im Zwölfersystem einfacher als im Dezimalsystem.

Umrechnungen zwischen Zahlendarstellungen in verschiedenen Stellensystemen sind auf der Internetseite http://zahlen.hoerde.net verfügbar.

Doch solche Stellensysteme sind nicht die einzige Möglichkeit, Zahlen darzustellen. Die Römer benutzten zur Darstellung von Zahlen (beschränkt auf ganze und positive Zahlen) ein Additionssystem, bei dem die Ziffern unabhängig von ihrer Position einen festen Wert haben, der zueinander addiert wird.

Dazu definierten Sie folgende Ziffern:

I = Eins X = Zehn C = Hundert M = Tausend

Zur Vereinfachung wurden noch die folgenden Zwischenstufen eingeführt:

V = IIIII (Fünf) L = XXXXX (Fünfzig) D = CCCCC (Fünfhundert)

So stellt also z.B. VII die Zahl Sieben dar. Eine Darstellung für die Null ist in den römischen Ziffern nicht enthalten. Sie decken also nur den positiven ganzzahligen Zahlenraum ohne die Null ab. Für besonders große Zahlen wird die römische Zahlendarstellung aufgrund fehlender Ziffern für große Werte unpraktisch.

Die römische Schreibweise war noch weit bis in das Mittelalter hinein gebräuchlich. Dabei bürgerte sich auch ein, die Darstellung dadurch zu vereinfachen, daß Ziffern nicht nur addiert, sondern auch voneinander subtrahiert werden können: Für die reine Addition der Ziffern werden diese in absteigendem Wert von links nach rechts geschrieben. Steht dagegen eine Ziffer von niedrigerem Wert links von einer Ziffer höheren Wertes, so wird sie subtrahiert. So kann also für die Zahl Neun statt VIIII auch IX und für die Zahl 45 statt XXXXV auch VL geschrieben werden. Für die Zahl 999 wird aus der langen Darstellung DCCCCLXXXXVIIII die Kurzform IM.

Um das Lesen der Zahlen nicht zu kompliziert werden zu lassen, darf von einer Ziffer stets nur eine andere Ziffer, nicht aber mehrere abgezogen werden. Die Darstellung IIL für 48 ist also nicht zulässig. Die Darstellung IXC wäre sogar mehrdeutig. Damit könnte gemeint sein, daß die Eins erst von der Zehn abgezogen wird und das Ergebnis (Neun) von der Hundert, also die Zahl 91 dargestellt ist. Es könnte aber damit auch gemeint sein, daß von der Hundert die Zehn abgezogen wird und davon die Eins, also die Zahl 89 dargestellt ist. Mit der Beschränkung der Subtraktion auf nur eine subtrahierte Ziffer pro addierter Ziffer sind solche Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen. Die Subtraktion jeweils einer Ziffer an verschiedenen Stellen der Zahl ist dagegen zulässig. So steht CMIX für die Zahl 909.

Anzumerken ist noch, daß es unüblich ist, die gleiche römische Ziffer in derselben Zahl mehrfach zur Subtraktion zu verwenden. So wäre z.B. IXIX eine zulässige Schreibweise für die Zahl 18, deren Verwendung aber nicht üblich ist. Außerdem hat sich die Konvention eingebürgert, daß Subtraktionen möglichst weit rechts in der Zahl erfolgen. Für die Zahl 19 schreibt mal also nicht IXX, sondern XIX.

Die Additionssystem der römischen Zahlen sind das einzige allgemein bekannte System zur Zahlendarstellung, das kein Stellensystem ist. Aber wenn man Zahlen mit Mitteln der Addition darstellen kann, warum soll man dann nicht auch Zahlen mit Mitteln der Multiplikation darstellen können?

Während bei den römischen Zahlen die Ziffern zueinander addiert werden, müsste man sie in einem Multiplikationssystem miteinander malnehmen. Als Ziffern für ein solches System eignen sich die Primzahlen, denn jede Zahl ab 2 hat eine eindeutige Primfaktorendarstellung. Man benötigt also Ziffern, die jeweils einer Primzahl entsprechen.

Nimmt man die Buchstaben des lateinischen Alphabeths als Ziffern, so hieße dies: Die Zahl 2 ist die erste Primzahl und wird durch die Ziffer a repräsentiert. Die Zahl 3 ist die zweite Primzahl wird wird durch die Ziffer b repräsentiert. Die Zahl 4 ist keine Primzahl, ist also keine eigene Ziffer, sondern wird multiplikativ als aa geschrieben. Die Zahl 5 ist wieder eine Primzahl und bekommt die Ziffer c. Die Zahl Sechs ist keine Primzahl, sondern schreibt sich ab (Multiplikation aus den Ziffern a und b).

Läßt man aus Gründen der Verwechselungsgefahr zwischen i und j den Buchstaben i aus dem Alphabeth weg, so hat man also mit den Buchstaben a bis z einen Ziffernvorrat für die ersten 25 Primzahlen, mit dem sich problemlos die Zahlen bis Hundert aufschreiben lassen. Lediglich die Zahlen Null und Eins haben keine Primfaktorendarstellung. Sie haben also eine Sonderrolle und können z.B. als 0 und 1 geschrieben werden.

Die folgende Tabelle zeigt die Zahlen von Null bis Hundert zum einen in verschiedenen Stellensystemen, nämlich in dem System aus den drei Ziffern 0,1,2, dem Dezimalsystem und dem Hexadezimalsystem, zum anderen im Additionssystem der römischen Zahlen und schließlich in dem von mir skizzierten Multiplikationssystem:

Nun sieht es so, als wäre nach den ersten hundert Zahlen das von mir entworfene Multiplikationssystem am Ende. Denn bereits die nächste Zahl ist wieder eine Primzahl und bräuchte also wieder eine neue Ziffer. Der Vorrat an verfügbaren Ziffern ist aber erschöpft. Daß das System aber noch genügend Möglichkeiten hat, um beliebig große Zahlen darzustellen, zeige ich auf der Folgeseite:

• Fortsetzung ...